Nhóm Lorentz hạn chế là thành phần nhận dạng của nhóm Lorentz, có nghĩa là nó bao gồm tất cả các phép biến đổi Lorentz có thể được kết nối với thành phần đơn vị bằng một đường cong liên tục nằm trong nhóm. Nhóm Lorentz bị hạn chế là một nhóm con bình thường được kết nối của nhóm Lorentz đầy đủ có cùng số chiều, trong trường hợp này có chiều thứ sáu.

Nhóm Lorentz bị hạn chế được tạo ra bởi các phép quay không gian thông thường và Lorentz boost (được hiểu là một không gian hyperbol bao gồm chiều giống thời gian [2]). Vì mỗi phép biến đổi Lorentz proper, orthochronos có thể được viết như một sản phẩm của phép quay (được chỉ định bởi 3 tham số thực) và boost (cũng được chỉ định bởi 3 tham số thực), phải mất 6 tham số thực để chỉ định phép biến đổi Lorentz chỉnh hình tùy ý. Đây là một cách để hiểu tại sao nhóm Lorentz bị hạn chế là sáu chiều. (Xem thêm đại số Lie của nhóm Lorentz.)

Tập hợp tất cả các phép quay tạo thành một nhóm con Lie đồng hình với nhóm quay thông thường SO (3). Tuy nhiên, tập hợp tất cả các mức tăng không tạo thành một nhóm con, vì việc tổng hợp hai mức tăng không nói chung, không dẫn đến một mức tăng khác. (Thay vào đó, một cặp tăng không phải giả tuyến tính tương đương với boost và xoay, điều này liên quan đến phép xoay Thomas.) Boost theo một số hướng, hoặc xoay quanh một số trục, tạo ra một nhóm con một tham số.

Siêu bề mặt

Nếu một nhóm G tác động lên một không gian V, thì một bề mặt S ⊂ V là một bề mặt siêu việt nếu S là bất biến dưới G, tức là ∀g ∈ G, ∀s ∈ S: gs ∈ S và với hai điểm s1, s2 ∈ S bất kỳ s1, s2 ∈ S có một g ∈ G sao cho gs1 = s2. Theo định nghĩa của nhóm Lorentz, nó bảo tồn dạng bậc hai

Q ( x ) = x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 . {\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}

Các bề mặt siêu việt của nhóm Lorentz trực giao O+(1, 3), Q(x) = const. của không thời gian như sau:[3]

• Q(x) > 0, x0 > 0 là nhánh trên của một hyperboloid gồm hai mặt.
• Q(x) > 0, x0 < 0 là nhánh dưới của hyperboloid này.
• Q(x) = 0, x0 > 0 là nhánh trên của hình nón ánh sáng.
• Q(x) = 0, x0 < 0 là nhánh dưới của hình nón ánh sáng.
• Q(x) < 0 là một hyperboloid của một mặt.
• Gốc tọa độ x0 = x1 = x2 = x3 = 0.

Các bề mặt này là 3-chiều, vì vậy bức tranh này là không trung thực, nhưng chúng trung thành với sự thật tương ứng về O+(1, 2). Đối với nhóm Lorentz đầy đủ, các bề mặt siêu việt chỉ có bốn kể từ khi phép biến đổi T lấy một nhánh trên của một hyperboloid (hình nón) thành một lớp thấp hơn và ngược lại.

Những quan sát này tạo thành một điểm khởi đầu tốt để tìm tất cả các biểu diễn unitary vô hạn của nhóm Lorentz, trên thực tế, của nhóm Poincaré, sử dụng phương pháp biểu diễn cảm ứng.[4] Người ta bắt đầu với một "vectơ tiêu chuẩn", một cho mỗi bề mặt siêu việt, và sau đó đòi hỏi nhóm con bảo tồn các vectơ này. Các nhóm nhỏ này được các nhà vật lý gọi là nhóm nhỏ. Vấn đề sau đó về cơ bản được giảm xuống thành vấn đề dễ dàng hơn trong việc tìm kiếm các đại diện của các nhóm nhỏ. Ví dụ, một vectơ tiêu chuẩn trong một trong các hyperbol của hai mặt có thể được chọn phù hợp là (m, 0, 0, 0). Với mỗi m ≠ 0, vectơ xuyên qua chính xác một mặt. Trong trường hợp này, nhóm nhỏ là SO(3), nhóm xoay vòng, tất cả các đại diện của chúng đều được biết đến. Biểu diễn đơn nhất vô hạn chiều chính xác theo đó một hạt biến đổi là một phần của phân loại của nó. Không phải tất cả các đại diện có thể tương ứng với các hạt vật lý (theo như được biết). Các vectơ tiêu chuẩn trên các hyperbol một tấm sẽ tương ứng với tachyons. Các hạt trên hình nón ánh sáng là photon, và giả thuyết hơn là graviton. "Hạt" tương ứng với gốc tọa độ là chân không.

Liên quan đến nhóm Mobius

Nhóm Lorentz bị hạn chế SO + (1, 3) là đẳng cấu với nhóm tuyến tính đặc biệt PSL (2, C), lần lượt, đẳng cấu với nhóm Möbius, nhóm đối xứng của hình học phù hợp trên hình cầu Riemann. (Quan sát này được sử dụng bởi Roger Penrose như là điểm khởi đầu của lý thuyết xoắn.)

Điều này có thể được thể hiện bằng cách xây dựng một phép đồng hình giả định của các nhóm Lie từ SL (2, C) đến SO + (1,3), được đặt tên là ánh xạ <b id="mw3g">spinor</b>. Nó tiến hành như sau.

Người ta có thể định nghĩa một tác động của SL (2, C) lên không thời gian của Minkowski bằng cách viết một điểm không thời gian dưới dạng ma trận Hermiti hai nhân hai dưới dạng

X = [ t + z x − i y x + i y t − z ] = t 1 1 + x σ x + y σ y + z σ z , {\displaystyle X={\begin{bmatrix}t+z&x-iy\\x+iy&t-z\end{bmatrix}}=t1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z},}

về theo sô hạng của ma trận Pauli. Biểu diễn này (Weyl) này thỏa mãn

det X = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 . {\displaystyle \det \,X=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}

Do đó, người ta đã xác định không gian của ma trận Hermiti (là bốn chiều, như một không gian vectơ thực) với không thời gian Minkowski, theo cách mà yếu tố quyết định của ma trận Hermiti là độ dài bình phương của vectơ tương ứng trong không thời gian chồn. SL (2, C) hoạt động trên không gian của ma trận Hermiti thông qua

X ↦ P X P ∗   , {\displaystyle X\mapsto PXP^{*}~,}

Trong đó P * là chuyển vị Hermiti của P và hành động này bảo toàn yếu tố quyết định.

Do đó, SL (2, C) hoạt động trên không thời gian Minkowski theo các hình học (tuyến tính). Điều này xác định một bản đồ từ SL (2, C) đến nhóm Lorentz SO + (1,3) và bản đồ rõ ràng là một sự đồng hình. Đây là bản đồ spinor.

Hạt nhân của ánh xạ spinor là nhóm con hai phần tử ± I và điều đó xảy ra là bản đồ là tính từ. Theo định lý đẳng cấu đầu tiên, nhóm thương số PSL (2, C) = SL (2, C) / {± I } là đẳng cấu với SO + (1,3).

Sự xuất hiện của bầu trời đêm

Đẳng cấu này có hậu quả mà Mobius biến đổi của Riemann hình cầu đại diện cho cách mà biến đổi Lorentz thay đổi sự xuất hiện của bầu trời đêm, như thể hiện bởi một người quan sát người đang vận động tại tương đối vận tốc tương đối so với "sao cố định".

Tập hợp bội vô hướng thực của vectơ null này, được gọi là dòng null qua gốc, biểu thị một đường ngắm từ một người quan sát tại một địa điểm và thời gian cụ thể (một sự kiện tùy ý mà chúng ta có thể xác định được với nguồn gốc của không thời gian Minkowski) ở xa các đối tượng, chẳng hạn như các ngôi sao. Sau đó, các điểm của thiên cầu (tương đương, đường ngắm) được xác định với các ma trận Hermiti nhất định.